Archimedes

Archimedese elu ja tegevus matemaatika arendamisel

Archimedes (287 - 212 e. m. a.), astronoomi ja matemaatiku Pheidiose poeg, kuulub maailma kõigi aegade suurimate matemaatikute hulka. Ta on suurim vanakreeka matemaatik, füüsik ja insener. Archimeds sündis, elas ja töötas põhiliselt Sürakuusas, Sitsiilias ning ta õppis Aleksandrias.

Kui Eukleides sai kuulsaks eelkõige olemasolevate matemaatikaalaste teadmiste süstematiseerijana, siis Archimedes tegi rea uusi silmapaistvaid avastusi:

• Nii arvutas ta silindri, kera ja selle osade ruumala ja pindala, samuti ellipsi, hüperbooli ja parabooli pöörlemisel tekkivate pöördkehade ruumala ja pindala. Üldiselt jaotas ta kõverjoontega piiratud kujundid kitsasteks ribadeks, kehad aga õhukesteks kihtideks. Archimedese meetodid olid lähedased 2000 aastat hiljem loodud integraalarvutuse meetoditele ja aitasid kaasa viimaste kujunemisele.

• Archimedesele kuulub ka kerasfäärisegmendi pindala ning kera ruumala praegu kasutatavaile valemeile vastavate arvutuseeskirjade väljatöötamine ning poolkorrapäraste hulktahukate (kokku 13) olemasolu tõestamine.

• Arvu lähisväärtust nimetatakse Archimedese arvuks, sest ta arvutas suure täpsusega ringjoone ja diameetri suhte, näidates, et see paikneb vahemikus

Archimedes püüdis lahendada ringiga pindvõrdse ruudu konstrueerimise - ringi kvadratuuri - ülesannet. See ülesanne seostubki arvu ajalooga.

2 000 aastat e. m. a. väitis vaarao Amenemhet III kroonik ja arvatavasti ka matemaatik Ahmes, et ringi pindala, mille diameeter on 2r, võrdub ruudu pindalaga, mille külje pikkus on 8/9 ringi diameetrist. Lihtne arvutus näitab, et see väide on ekslik. Tõepoolest, kui , st kui , siis Vale on juba teine number pärast koma ().

Võtnud egiptlastelt üle geomeetria, said kreeklased päranduseks ka ülesande ringi kvadratuurist, ühe kolmest vanaaja lahendamatust ülesandest (teised kaks on kuubi duplikatsioon ja nurga trisektsioon). Ringi kvadratuurülesandega tegelesid filosoofid, sofistid ja matemaatikud: V sajandil e. m. a. Anaxagoras Klazomenast ja Hippias Elisest; IV sajandil e. m. a. Hippokrates ja sofist Antiphon (lahenduse metoodika loojad) ja ka vanaaja suurim matemaatik Archimedes.

Ta kirjutas traktaadi "Ringi mõõtmine". Ringi pindala arvutamiseks joonistas Archimedes sinna sisse kuusnurga ja suurendas selle külgede arvu seejärel üheksakümne kuueni. Seejärel teisendas ta hulknurga ruuduks. Lõpptulemuseks sai ta väärtuseks , mis on üks tõelisele väärtusele lähemaid tulemusi.

Hilisematel sajanditel tehti samuti korduvalt katset seda ülesannet lahendada, tema kallal murdsid pead Leonardo Fibonacci (XIII saj.), Francois Viete (XIV saj.), Gottfried Wilhelm Leibniz ja John Wallis (XVII saj.), Leonhard Euler (XVIII saj.). See köitis ka füüsikuid. Arvutuste tulemusena saadi arvule üha täpsemaid ja täpsemaid väärtusi, eriti pärast diferentsiaal- ja integraalarvutuse loomist.

• Archimedese poolt uuritud kõverjoonte hulka kuulub ka nn. Archimedese spiraal.

Ta kirjeldas spiraali, s. o. joont, mille kujutab piki sirget l nihkuv punkt, kui sirge l pöörleb ühtlaselt ümber punkti O. Archimedese spiraal on lõpmata suure keerdude arvuga.

Joonis1.

• Archimedes hindas kõige tähtsamaks oma tööd "Kerast ja silindrist". Seda asjaolu kinnitab ka legend, mille kohaselt oli Archimedes soovinud lasta oma hauasambal kujutada silindrit, millesse on joonestatud kera (joonis 2).

Joonis 2.

Need kaks kujundit pidid meenutama järeltulevatele põlvedele tema kõige tähtsamat traktaati.

Archimedes tõestas, et

V₁ : V₂ : V₃ = 1 : 2 : 3,

kus on kera ruumala (kera raadius on r);

on kera ümber joonestatud silindri ruumala;

on sellesse silindrisse joonestatud koonuse ruumala.

• Mehhaanikas avastas Archimedes omanimelise seaduse (Archimedese seadus - igale vedelikus või gaasis asetsevale kehale mõjub üleslükkejõud, mis on võrdne selle keha poolt väljatõrjutud vedeliku võigaasi kaaluga) seoses ülesandega, kus oli vaja selgitada, kas kullassepp on Sürakuusa valitseja Hieron II krooni valmistanud puhtast kullast või kulla ja hõbeda segust.

Idee kõnealusest seadusest tekkinud Archimedesel vannis olles, mispeale ta jooksnud alasti läbi linna saunast koju, hüüdes: "Heureka!" ("leidsin" - kreeka keeles).

• Archimedes leiutas ka masina vee tõstmiseks nn. "Archimedese kruvi", mida kasutatakse veel meie päevilgi puist- ja venivate ainete transportimiseks.

• Samuti avastas ta kangi seaduse, määras kujundite raskuskeskmeid.

Kirjeldades Archimedese elu, väidab Plutarchos Chaironeiast: suur matemaatik olnud oma mehhanismides sedavõrd kindel, et öelnud: "Andke mulle toetuspunkt ja ma nihutan maakera paigast."

Kontrollime huvi pärast, kas see väide on ikka õige. Et maakera nihutada, peaks Archimedese toetuspunkt asuma sel juhul väljaspool Maad, kusagil teisel planeedil. Meil on vaja leida kangi õla pikkust, et Archimedes saaks Maad nihutada.

Jättes kõrvale formaalse arutluse, saame tulemuseks, et Archimedese poolt öeldud fraas on vaid poeetiline hüperbool.

Kui roomlased 213 - 212 e. m. a. II Puunia sõja ajal piirasid Sürakuusat, aitas Archimedes omakodulinna kaitsta. Ta konstrueeris rea teravmeelseid seadmeid, mille abil tekitati piirajaile olulisi kaotusi. Mitmesuguste katapultide ja laevade uputamiseks mõeldud masinate kõrval olevat Archimedes loonud ka päikesekiiri koondava seadme laevade süütamiseks pika vahemaa tagant. Siiski õnnestus roomlastel reeturiabiga Sürakuusa vallutada, tapeti ka Archimedes. Oma mõrvarile, rooma sõdurile, öelnud teadlane oma viimased sõnad, viidates geomeetrilisele joonisele liival: "Ära puuduta minu ringe!"

Oma eluajal oli Archimedes avaldanud soovi, et temahauakivile raiutaks joonis silindrisse kujutatud kerast (vt eestpoolt). See joonis pidi meenutama tema poolt tõestatud teoreemi: kera pindala ja ruumala moodustavad vastavalt 2/3 kera ümber kujundatud silindri pindalast ja ruumalast. Roomakonsul Marcus Claudius Marcellus laskiski Archimedese soovi täita. Kuulus roomakõnemees Mascus Tullius Cicero (106 - 43 e. m. a.) leidis 137 aastat hiljem õpetlase hauakivi ja kirjeldas seda. Cicero on ka kirjutanud: "… geniaalsus, mis oli omane sellele sitsiillasele, tundus inimsoo jaoks saavutamatuna."

Archimedest iseloomustab ka suur huvi praktiliste ülesannete vastu. Vaatame neist ühte.

Tavaline teeklaas mahuga 250 cm³ on ääreni täis puhast peenikest liiva (Archimedes pidas silmas tolmukübemeid). Kui palju liivateri on klaasis?

Archimedes võttis aluseks, et ühte mooniseemnesse mahub 10 000 imeväikest liivatera ja et mooniseemne läbimõõt on umbes 0,5 mm. See tähendab, et 1 mm³ mahutab 8 mooniseemet ja esitatud küsimusele ongi lihtne vastust leida.

1 mm³ sisaldab 80 000 liivatera, järelikult on ruumalas 250 cm³ 80 000 * 1 000 * 250, s. o. 20 miljardit liivatera.

Täiesti ootamatu arv! Soovides tõestada, et ei leidu sellist hulka, mida poleks võimalik arvutada, arvestas Archimedes välja, kui palju liivateri mahuks kerasse, mille raadius on võrdne kaugusega Maalt tähtedeni. Arvutusteks töötas Archimedes välja erisüsteemi, mille algühikuks on müriaad, s. t. 10 000.

printerisõbralik versioon esita küsimus